Tu hai parlato di PC "assemblato da te", quindi suppongo un "desktop".
Ora, l'esistenza di una "incompatibilita'" tra scheda grafica integrata e monitor e' MOOOOOOOOOOLTO strana.
La prima cosa da provare e' trovare un monitor VECCHIO, di 123-ma mano MA funzionante e controllare se il problema persiste.
SE il problema persiste, su puo' supporre che NON SIA un problema della scheda grafica integrata MA proprio della scheda madre.
Nel qual caso bisogna fare dei ragionamenti a piu' ampio respiro (cambiare tutto ??).
Potrebbe anche essere che e' un banale problema "elettrico", come ad esempio un condensatore o una resistenza che funzionano male e che puo' essere risolto con la loro sostituzione. Ma questo lo puo' fare solo qualcuno che sa quello che fa :-) Oltre al fatto che serve la strumentazione ed i pezzi di ricambio.
SE la scheda madre e' di una buona marca e di buona qualita',
e SE l'alimentatore ha abbastanza potenza,
in teoria QUALUNQUE scheda grafica AMD o NVIDIA dovrebbe andare bene.
Devi solo decidere quanto spendere
ASSIOMA: le schede grafiche integrate NON SI POSSONO SOSTITUIRE, stanno DENTRO la CPU.
Per farlo, devi sostituire l'INTERO PROCESSORE.
L'unica cosa che puoi fare e' acquistare una scheda grafica discreta/ESTERNA, montarla dentro il computer e usare le SUE uscite video per collegare il monitor