Presumo che l'OP abbia già risolto il problema con la sua funzioncina olomorfa.
In ogni caso, a futura memoria, esiste un bel teorema (non banale da dimostrare) dovuto a Looman e Menchoff che garantisce la derivabilità complessa anche in casi come quello considerato, sempre se e solo se le equazioni di Cauchy-Riemann sono soddisfatte.
Dunque la Via Regia consiste proprio nel fare pazientemente e correttamente i calcoli necessari, che possono essere piuttosto farraginosi (come quasi sempre, trattandosi di PDE).
L'analisi complessa è sicuramente noiosa (anche più di quella ordinaria sui reali, che è tutto dire) e talora perfino fastidiosa per chi è naturalmente incline alla matematica discreta e alla logica, ma si tratta di uno strumento matematico sempre più necessario: sia per il ruolo centrale che ha conquistato nella cosiddetta "teoria algebrica del numero" consolidatasi sostanzialmente dopo la dimostrazione dell'UTF negli anni Novanta, sia per le più ovvie applicazioni ben note in fisica, elettronica, chimica quantistica, etc. che per il lato informatichese assumono soprattutto i connotati della teoria delle forme modulari e delle curve ellittiche, la cui sola menzione manda in sollucchero i (pochi) veri esperti di crittografia e sicurezza e anche i (troppi) lamer che nell'argomento amano sguazzare allegramente.